Народився Борис Васильович Базалій 15 квітня 1938 року в селі Ул’янівка Ул’янівського району Сумської області. Середню школу закінчив у м. Харкові у 1955 р. і з 1955 р. до 1961 р. навчався у Харківському авіаційному інституті. Під впливом свого першого вчителя А.Д. Мишкіса подальшу освіту з математики він отримав як аспірант Фізико-технічного інституту низьких температур АН України. Наукова діяльність нерозривно пов’язана з Інститутом прикладної математики і механіки НАН України, де він працював з 1965 р. У 1968 р. він захистив кандидатську дисертацію, присвячену задачам гідродинаміки з вільними межами, у 1987 р. в ЛВМІ ім. Стєклова захистив докторську дисертацію, присвячену граничним задачам для параболічних та еліптичних рівнянь з вільними межами. Пройшовши шлях від старшого наукового співробітника до керівника відділу рівнянь математичної фізики, він продовжував на цій посаді наукові традиції, започатковані його науковим керівником академіком АН УРСР І.І. Данилюком.
Наукові інтереси Базалія Б.В. було сконцентровано навколо нелінійних граничних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними в областях з вільними (невідомими) межами. Більшість досліджень пов’язана з доведенням класичної розв’язності граничних задач для еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку, в яких поряд з невідомими розподілами всередині області треба знайти також і саму область, тобто межу області. Такі задачі є математичними моделями для різноманітних явищ в гідродинаміці, теплопровідності, нелінійній фільтрації тощо.
При розгляді стаціонарних задач з вільною межею (наприклад, хвилі на поверхні рідини) традиційним методом дослідження, що веде початок від праць Леві-Чевіта, Некрасова, Секерж-Заньковича та Данилюка, є побудова інтегро-диференціальних рівнянь, еквівалентних вихідним співвідношенням проблеми, та доведення їхньої розв’язності у відповідних функціональних класах. У цьому напрямку Базалій Б.В. вивчав більш загальну проблему, коли на невідомій межі задається умова типу Бернуллі, що містить зовнішні сили з достатньо широкими умовами підпорядкування. Зокрема, з використанням теореми про розгалуження розв’язків було доведено існування класичного розв’язку, коли додаткова умова на вільній межі містить другі похідні цієї межі.
Історично перші результати для багатовимірної моделі фазового переходу було отримано в роботах О.А. Олійник, О.А. Ладиженської та А. Фрідмана. В них було використано ідею узагальнених розв’язків, але при цьому для таких слабких розв’язків майже відсутня інформація про невідому межу. Проблема отримання регулярних розв’язків була частково вирішена в роботах А.М. Мейрманова та І. Ханзави з використанням методів регуляризації, але тут виникла велика різниця між регулярністю початкових умов і розв’язку. Цю різницю було ліквідовано в докторській дисертації Б.В. Базалія, де було запропоновано якісно новий метод дослідження задач подібного класу.
Цей метод можна визначити як метод локальних оцінок, подібно до методу Шаудера, або методу потенціалів, бо основні аналітичні труднощі пов’язані з оцінками об’ємних та поверхневих потенціалів зі спеціальними ядрами. Модельні задачі, на вивченні яких базується запропонований метод, не є класичними, бо містять у граничних умовах похідні того ж порядку, що і диференціальні оператори всередині області. Цей метод дозволив Б.В. Базалію також отримати результати по класичній розв’язності інших проблем, подібних до задачі Стефана, наприклад: довести класичну розв’язність задачі з вільною межею, яка моделює термодифузію з конвекцією в рідинній фазі; довести класичну розв’язність задачі з вільною межею для системи, що містить параболічне та еліптичне рівняння, тобто у випадку виродження системи (це так звана проблема Маскета-Верігіна); вивчити задачу Стефана для нелінійного виродженого параболічного рівняння в класах регулярних функцій; дослідити нестаціонарну задачу з вільною межею для еліптичного рівняння з граничною умовою, що містить кривизну невідомої поверхні.
Проблема деформації вільної межі вивчалася також у випадку нерегулярної форми початкової межі. Для двовимірного випадку модельна задача формулюється всередині кутової області. Наявність такої сингулярності приводить до необхідності побудови аналітичної в області функції з диференціально-різніцевими умовами на заданій межі. У роботах Б.В. Базалія було встановлено достатні умови на початкові дані, за яких кутова точка початкової області деякий час є нерухомою, та доведено класичну розв’язність у вагових класах Гельдера.
Загальна гранична проблема для параболічного рівняння другого порядку з граничною умовою, що містить похідні того ж порядку, що й рівняння, була сформульована для потреб теорії ймовірностей А.Д. Вентцелем. З точки зору методів, розроблених Б.В. Базалієм, найбільш важким є випадок, коли гранична умова містить похідні другого порядку по тангенціальним до межі просторовим напрямкам. Було побудовано спеціальні простори регулярних функцій та доведено розв’язність задач в таких класах.
В останні десятиріччя велика увага приділялася задачі Коші для так званого рівняння пористого середовища. Було встановлено, що локально ця задача подібна до задачі Стефана, але при вивченні відповідної модельної задачі тут з’являється сингулярність у вигляді сильної виродженості диференціального рівняння. В одновимірному випадку в роботах Д. Арносона, Л. Васкеза, С. Андженента було доведено аналітичність вільної межі, але після деякого позитивного проміжку часу. Запропонований метод потенціалів дозволив установити регулярність вільної межі до початкового моменту в залежності від регулярності початкових даних, не тільки в одновимірному випадку, але й в довільному багатовимірному просторі.
Серед інших розробок, запроваджених Базалієм Б.В., слід відзначити застосування варіаційних методів до стаціонарних задач з вільними межами, що виникають у теорії термопровідності; застосування методів симетризації до встановлення оцінок розв’язків нелінійних параболічних рівнянь, доведення нетеровості деяких класів сингулярних інтегральних рівнянь.
Цікаво, що останнім часом методи, розроблені для вивчення задач з вільною межею, знайшли застосування в задачах математичної біології. У зв’язку з цим треба відмітити останні публікації Базалія Б.В. у співавторстві з відомим математиком А. Фрідманом, в яких досліджуються різноманітні математичні моделі біологічних процесів, і в яких наголос перш за все робиться на здобутті розв’язків з регулярною вільною межею.
Науковий спадок Базалія Б.В. налічує більше 80 статей. Його наукові роботи є широко відомими за межами України.
Молодь, що йшла в науку, завжди зустрічала з боку Бориса Васильовича незмінну підтримку, дружелюбність та увагу. Він вельми уважно читав роботи своїх учнів і з подиву гідною педантичністю подавав зауваження, завдяки яким тексти перетворювалися на наукові статті та дисертації. Серед учнів Бориса Васильовича 5 кандидатів наук.
Талановитий учений і педагог, щирий патріот України, людина високої душі та інтелігентності – Борис Васильович Базалій незмінно користувався величезною повагою серед своїх друзів, колег і учнів. Світлі спогади про Бориса Васильовича назавжди залишаться в серцях всіх, хто його знав.
Список наукових праць Базалія Бориса Васильовича